看到网上说2023年天津高考数学第20题难度不小，据说还和Stirling公式有关系，故简单看了看，结果还是老套路，利用导数和泰勒公式进行估阶。
我们来看题目：
- 已知函数 $f(x)=\left(\frac 1x+\frac 12\right)\ln(x+1)$.
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率；
(2) 当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$；
(3) 证明：$\frac56<\ln(n!)-\left(n+\frac12\right)\ln n+n\le 1$.
直接看第(3)问：
联想到数学分析中的级数，将不等式中间看做级数 $\sum\limits_{k=1}^na_k$，首先构造出 $a_k$：令 $a_1=\ln(1!)-\left(1+\frac12\right)\ln 1+1=1$，$a_{n+1}=\left[\ln(n+1)!-\left(n+\frac32\right)\ln (n+1)+n+1\right]-\left[\ln(n!)-\left(n+\frac12\right)\ln n+n\right]=1-\left(n+\frac12\right)\ln\frac{n+1}{n}=1-f\left(\frac1n\right)$。
那么分析一下，由(2)结论可知$a_n<0(n\ge 2)$，则欲证结论等价于级数收敛且级数和 $S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\in\left[\frac56,1\right]$，下面用高中范围内的知识来证明，当然以下所有证明过程都是不超纲的。
先在草稿纸上分析一下 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近的性质：
$$\begin{aligned}\frac1x\ln(1+x)&=1-\frac12x+\frac13x^2-\frac14x^3+\frac15x^4-\cdots\\ \frac12\ln(1+x)&=\quad\ \ \ \frac12x-\frac14x^2+\frac16x^3-\frac18x^4+\cdots\\ \hline f(x)&=1\qquad\ \ +\frac1{12}x^2-\frac{1}{12}x^3+\frac3{40}x^4-\cdots\end{aligned}$$
那么我们就看出要构造的不等式了，即 $1<f(x)<1+\frac1{12}x^2$（以下均只考虑 $x>0$）
令 $g(x)=\left(1+\frac12 x\right)\ln(1+x)-x$，则 $g’(x)=\frac{x\ln(x+1)-x+\ln(x+1)}{2(x+1)}$，令 $p(x)=x\ln(x+1)-x+\ln(x+1)$，则 $p’(x)=\ln(x+1)>0$，故 $p(x)>p(0)=0$，因此 $g’(x)>0\Rightarrow g(x)>g(0)=0$；
令$h(x)=\left(1+\frac12 x\right)\ln(1+x)-x\left(1+\frac1{12}x^2\right)$，则 $h’(x)=\frac{-x^3-x^2+2x\ln(x+1)-2x+2\ln(x+1)}{4(x+1)}$。再令 $q(x)=-x^3-x^2+2x\ln(x+1)-2x+2\ln(x+1)$，则 $q’(x)=-3x^2-2x+2\ln(x+1)<0$（这里用到 $\forall x>0,\ln(x+1)\le x$），故 $q(x)<q(0)=0$，进而 $h’(x)<0\Rightarrow h(x)<h(0)=0$；
综上，有 $x<x\cdot f(x)<x\left(1+\frac1{12}x^2\right)$，即 $1<f(x)<1+\frac1{12}x^2$。
由 $f(x)>1$ 可得 $a_{n+1}=1-f\left(\frac1n\right)<0$，因此 $\ln(n!)-\left(n+\frac12\right)\ln n+1=\sum\limits_{k=1}^na_n\le a_1=1$；
由 $f(x)<1+\frac1{12}x^2$ 可得 $a_{n+1}=1-f\left(\frac1n\right)>-\frac1{12n^2}$，因此 $\ln(n!)-\left(n+\frac12\right)\ln n+1=\sum\limits_{k=1}^na_n>1-\frac1{12}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac1{k^2}$，下面就是高中生都会的放缩了，都不需要用到 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$：
$$\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac1{k^2}\le1+\sum\limits_{k=2}^{n-1}\frac1{k(k-1)}=1+1-\frac1n<2$$
因此 $1-\frac1{12}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac1{k^2}>\frac56$，再讨论一下 $n=1$ 之类的边界即可，当然这都是trivial的。