2023年天津高考数学20题的思考

看到网上说2023年天津高考数学第20题难度不小，据说还和Stirling公式有关系，故简单看了看，结果还是老套路，利用导数和泰勒公式进行估阶。

我们来看题目：

20. 已知函数 .

1. 求曲线 在 处切线的斜率；

2. 当 时，证明：；

3. 证明：.

直接看第(3)问：

联想到数学分析中的级数，将不等式中间看做级数 ，首先构造出 ：令 ，。

那么分析一下，由(2)结论可知，则欲证结论等价于级数收敛且级数和 ，下面用高中范围内的知识来证明，当然以下所有证明过程都是不超纲的。

先在草稿纸上分析一下 在 附近的性质：

那么我们就看出要构造的不等式了，即 （以下均只考虑 ）

令 ，则 ，令 ，则 ，故 ，因此 ；

令，则 。再令 ，则 （这里用到 ），故 ，进而 ；

综上，有 ，即 。

由 可得 ，因此 ；

由 可得 ，因此 ，下面就是高中生都会的放缩了，都不需要用到 ：

因此 ，再讨论一下 之类的边界即可，当然这都是trivial的。