调整法证明不等式的“雷区”——从一道题目谈起

我们先从一道题目看起：

设 ，且 ，求证：.

我们用调整法来证明这个不等式：

①先证明不等式：若 ，则 。

注意到 ，因此 ，故不等式左边 。

②令 ，若 不全等于 ，则一定存在 使得 ，故（此处便于叙述设 ）

即将 调整为 ， 调整为 时， 保持不变，而 的值减小。

③由②可知，对于任意满足条件的 ，若 不全等于 ，则存在 使得 ，按照②进行一次调整，则等于 的 数量（至少）增加 ，而 的值减小，故至多 步后 全部被调整为 ，此时 。因此对任意满足题意的 ，都有 。

按照这种方法进行证明，没有问题。但是，如果按照下面的方法进行”证明“：

①先证明不等式：若 ，则 。

注意到 ，因此 ，故不等式左边 。

②若 不全等于 ，则一定存在 使得 ，故（此处便于叙述设 ）

即将 和 都调整为 时， 保持不变，而 的值减小。

则至此我们不能说明 是 的最小值：如果我们试图通过“当存在 时，可以不断进行一步调整来使 变小”来说明，则我们无法证明这种调整能够在有限步内终止，即 的大于号有无穷多个，虽然可以通过 的连续性和极限保序性来证明，但在初等数学的范围内需要额外的且繁冗的说明；如果我们试图通过“当存在 时，可以进行一步调整来使 变小，故此处不是 的最小值”来说明 只能在 时取得最小值，则缺少 能够取到最小值的证明，因为 定义在连续域上，最值的存在性在初等数学中不显然。