见招拆招——解一道泛函分析题目

《泛函分析基础》中有这样一道习题：

（习题4.5）设 为可分赋范空间，求证：存在 单位球面的可数子集 ，使得任取 ，有 .

这道习题不困难，我们直接给出解答：

设 在 中稠密. 若 ，令 为 的一维子空间，，令 ，则显然 ，又

故 且 . 故由Hahn-Banach定理， 使得 且 . 令

则 为 单位球面上的可数子集（若对应的 不唯一，任取一个即可；若 ，则任取一个 单位球面上的 ）. 任取 ，由 的稠密性知 ， 使得 . 此时 故 . 又 故 由 为任意正数可得 .

接下来，我们看这样一道题目：

（变式）设 可分，求证：存在 单位球面的可数子集 ，使得 ，.

看似只是将 与其对偶空间的地位互换了，然而如果按照上述方法进行证明，则有一个问题：原证法中一个重要的性质是 ， 都满足 （即 的支撑泛函），但在此题中对于某个特定的 ， 的单位球面上未必存在一个 使得 ，进而也无法进行后续的证明. 但是，我们可以见招拆招，既然当 时， 可能只是 的上确界，那么我们可以利用上确界的性质完成证明：

设 在 中稠密. 由于 故存在 满足 且 . 记 ，则 为 单位球面的可数子集. 任取 ，由 的稠密性知 ， 使得 . 取 ，我们有 故 . 又 故 由 为任意正数可得 .