“一厢情愿”——“自说自话”的模拟题

前些日子看到了一道网传的高三模拟题，节选如下：

将函数 在 上的零点从小到大依次排列，设第 个零点为 ，证明：.

我们来看提供的参考答案是如何解答的：

容易证明 ，又 ，故 ，即 .

从而 ，故 ，累加可得 .

又 ，函数 在 上单调递增，因此 ，故 .

参考答案给出的证法，完全是命题人的“自娱自乐”：可能是从某个题目改编而来，也可能是不知从哪里得来的灵感命制的试题，总之其通过一个（看似）巧妙而高难度的三角公式、裂项、放缩，得出了题设的结论；但是，这个问题真的如此困难吗？真的需要这么证吗？

我们再来看看：既然 （这一步易证，省略），我们有 ，故只需证明 即可，即 . 而这是显然的，因为 ，而 ​！¹

如此松的不等式，令人汗颜！这便是模拟题质量不及高考题的一大原因：由于缺乏计算机验证、题目审核等环节，仅由少数几个人命制出来的题目常常有诸多问题，例如命题人没有发现实际上存在的简便解法，导致题目难度大大低于预期；不等式太松，随便放缩都不会过头，导致命题人设计的方法失去意义²……

我们简单将题设的不等式进行加强，让所谓的命题人看看什么是高考题层次的试题：

将函数 在 上的零点从小到大依次排列，设第 个零点为 ，证明：.³

证明方法也完全不需要上面那个不知所以的裂项：只需证 ，即 .

由于 ，故只需证 .

令 ，则 . 当 时，，故 ，因此 ，从而 在 上递减，而 ，故 ，即 ，证毕.

这里再附上两道我接触过的模拟题，看看这些模拟题的质量有多么低下：

证明：.

左边收敛，右边发散，竟然也好意思作为压轴题最后一问！闭着眼放缩即可：易证 ，故 .

已知 ，，，证明：.

给了一堆近似值，看上去是个复杂的估值问题，实际上呢？命题人完全没有意识到泰勒估值的威力！只需要活用不等式 ：令 得 ；令 得 .

给学生做这样的试题，尤其是在正规考试中做，对学生的毒害仅次于错题！

¹ 可通过 简单证明.

² 这里简单插一句，有关不等式的高考题常常“渐进性质”很好，例如不等式两边取极限相等，说明某一复杂的式子存在一个简单的渐进界.

³ 实际上这个不等式还有另外一边 ，但是太过丑陋了，不适合作为考试题. 但是，容易看出，结合这两个不等式可以推出 ，也就是将 趋于无穷的速度进行了精确的估阶.